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Introduction
Nous savons résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues, voire un système de 3 équations à 3 inconnues, lorsque ceux-ci admettent une solution. Mais, nous ne savons pas résoudre les systèmes plus compliqués.
Or, parfois, lorsque l’on dispose d’un grand nombre de données reliées entre elles par un grand nombre d’équations. On peut avoir à résoudre de tels systèmes.
- C’est le cas, par exemple, des météorologues qui disposent d’un très grand nombre d’informations (températures, pressions, vents, etc. en différents endroits) reliées entre elles par un très grand nombre d’équations (les équations qui décrivent le comportement d’une variable en fonction des autres).
- Ce peut être le cas aussi des spécialistes du secteur bancaire et de la finance qui cherchent à prévoir l’évolution de valeurs boursières en fonction d’un très grand nombre de données, ou encore tout simplement des scientifiques qui étudient l’évolution dans le temps d’un grand nombre de paramètres liés à une expérience.
Nous allons voir comment résoudre un système de n équations à n inconnues en partant de l’exemple de la résolution d’un système de 4 équations à 4 inconnues.
Etude de cas
Considérons le système suivant, appelé système d’équations linéaires, car les inconnues sont toujours à la puissance 1.
Ce système admet-il une solution ?
Il y a plusieurs possibilités. Observons le tableau ci-dessous.
| Type | 2 équations à 2 inconnues | 3 équations à 3 inconnues | 4 équations à 4 inconnues |
| Interprétation géométrique |  |  | Représentation impossible |
| Intersections possibles (solutions) | aucune, un point, une droite. | aucune, un point, une droite, un plan. | aucune, un point, une droite, un plan, un hyperplan. |
| Dimensions possibles de l’espace vectoriel des solutions | Vide, 0, 1. | Vide, 0, 1, 2. | Vide, 0, 1 , 2, 3. |
Un système de 4 équations à 4 inconnues peut admettre 0 solution, 1 solution, ou une infinité de solutions formant des espaces de vectoriels de dimensions 1, 2, ou 3.
D’une manière générale, dans un espace vectoriel de dimension n, un système de n équations à n inconnues peut admettre 0 solution, une solution, ou une infinité de solutions formant des espaces vectoriels de dimensions pouvant varier de 1 à n-1.
Avant de chercher les solutions d’un tel système, il faut donc d’abord s’intéresser au nombre de solutions qu’il admettra. Au cas où le système admettrait une infinité de solutions, on donnera les solutions sous la forme d’un espace vectoriel.
Pour étudier l’existence et le nombre de solutions d’un système de n équations à n inconnues, on doit s’intéresser à ses coefficients.
Existence de solutions
Considérons le groupe de nombres suivants:
Un tel groupe formé de nombres dans deux grands crochets s’appelle une matrice. Pour chaque matrice M, on peut calculer un nombre, appelé le déterminant de la matrice. Il nous donnera le nombre de solutions du système. Il est noté 
, ou encore, dans le cas de notre matrice :
Calcul du déterminant
C’est un calcul simple, mais souvent long si on le réalise à la main.
Introduisons d’abord la matrice 
obtenue en ôtant la ième ligne et la jième colonne de M.
On a par exemple :
En prenant le nombre j compris entre 1 et n qui nous arrange le mieux pour effectuer le calcul, et en notant 
le coefficient situé sur la ième ligne et la jième colonne de M, on peut calculer le déterminant de M avec la formule suivante :
Ainsi, pour notre matrice M, on a avec j=1 :
Propriété
– Si le déterminant d’une matrice est égal de 0 alors le système associé admet soit aucune solution, soit une infinité de solutions.
– Si le déterminant est différent de 0 alors le système associé admet une unique solution.
Ici le déterminant est nul, donc on ne peut pas conclure. Nous étudierons ce cas au niveau bac+2 et nous verrons comment écrire l’ensemble des solutions sous la forme d’un espace vectoriel (lorsqu’il y a un nombre infini de solutions).
Pour la suite, nous allons uniquement nous intéresser au cas des systèmes dont le déterminant est non nul et apprendre dans ce cas à calculer l’unique solution.
Calcul des solutions
Nous avons besoin d’un nouveau système. Considérons donc le système :
En posant 
, on a 
, donc ce système admet bien une unique solution.
Définitions
– Si A et B sont deux matrices, la somme A+B de A et de B est la matrice qui admet pour coefficients la somme des coefficients de A et de B. De même pour la matrice A-B.
– Si A et B sont deux matrices, le produit 
de A par B est la matrice dont le coefficient situé sur la iième ligne et la jième colonne est égal au produit croisé des coefficients de la iième ligne de A par ceux de la jième colonne de B. Par exemple :
et 
– Si A est une matrice, la transposée de A est la matrice notée 
telle que chacun de ses coefficients i,j soit égal au coefficient j,i de A. Par exemple, si 
alors 
.
Application
Avec ces considérations, notre système peut s’écrire :
Ou encore, en posant 
et 
: 
.
Si on arrive à trouver une matrice 
qui soit l’inverse de M au sens du produit tel que défini ci-dessus, alors on aura 
, et on pourra calculer les nombres x, y, z et t en réalisant le produit des matrices et N. Nous devons donc apprendre à calculer l’inverse d’une matrice.
Inversion de matrice
La comatrice de M, notée 
, est la matrice dont le coefficient situé sur la ième ligne et la jème colonne est égal au nombre 
. Lorsque le déterminant d’une matrice n’est pas nul, on a:
Après de simples, mais longs calculs, on obtient pour notre matrice M :
On a ensuite facilement : 
et 
.
Solutions du système
Comme 
, un dernier produit matriciel nous donne la valeur des 4 variables du système.
Donc x=2, y=1, z=-1 et t=3.
Pour résoudre des systèmes plus compliqués, par exemple, un système de 100 équations à 100 inconnues, on utilise la même technique mais on fait bien sûr appel à l’informatique pour réaliser les calculs !
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