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Définitions
Un polynôme, c’est une expression littérale de la forme
-
, 
,- ou plus généralement de la forme
, ce qui se lit : somme, pour les entiers n variant de 0 à N, des 
.
Les nombres 
sont appelés les coefficients du polynôme. Le plus grand entier n tel que 
est appelé le degré du polynôme.
On peut associer à chaque polynôme P une fonction 
, appelée fonction polynôme.
Exemple : la fonction polynôme associée au polynôme 
.
Racines
Une racine d’un polynôme P est un nombre r tel que 
.
Un polynôme de
- degré 1 possède toujours une racine, un polynôme
- degré 2 possède 0, 1 ou 2 racines réelles
- et toujours 2 racines complexes (Si
on dit qu’il y a une racine double).
Théorème de d’Alembert.
Un polynôme de degré n admet toujours n racines complexes et au maximum n racines réelles.
Factorisation de polynômes
Si un polynôme P possède n racines, 
Alors, il peut se factoriser sous la forme 
.
Inversement, si on arrive à factoriser un polynôme P sous cette forme, alors on sait que 
sont des racines de P.
Pour déterminer les racines d’un polynôme de degré 3, on peut donc commencer par chercher une racine évidente, puis à chercher une factorisation de ce polynôme et en déduire les autres racines.
Exemple : Trouver les racines du polynôme 
On voit que -1 est une racine évidente, alors P se factorise en 
.
En développant cette expression, on obtient 
et comme pour que deux polynômes soient égaux, il faut que leurs coefficients soient égaux, on obtient un système :
Alors P se factorise en 
. En calculant delta dans le facteur de droite, on peut ainsi trouver les 2 autres racines de P.
Calculs avec des polynômes
L’addition, la soustraction ou la multiplication de polynômes sont des choses élémentaires. Étudions ici la division de 2 polynômes.
Exemple : Diviser 
par 
. On doit obtenir un polynôme, avec éventuellement un reste.
Pour diviser deux polynômes entre eux, on utilise la même technique que pour diviser deux grands nombres : on les place dans un petit tableau comme ci-dessous :
On se demande : en combien de fois ? 
fois. On place le et on effectue la multiplication puis la soustraction.
On continue : en 
combien de fois ? x fois. On pose le x et on continue le tableau :
En 
combien de fois ? -1 fois. On termine le tableau :
On en déduit finalement que 
.
Cette factorisation peut ensuite être utile pour déterminer les racines du polynôme.
Introduction
Texte
Introduction
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