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Continuité
Une fonction continue sur un intervalle I est une fonction dont on peut tracer la représentation graphique sans lever le crayon.
On a: 
| Fonction non continue sur [-1;5] puisque non continue en 2. | Fonction continue sur [-1,5] puisque continue partout. |
 |  |
 mais | Ici  |
Théorème des valeurs intermédiaires
Si une fonction f est continue sur un intervalle Alors, l’équation Si de plus f est strictement monotone sur I, Alors, cette solution est unique. Quelle que soit la fonction f et le nombre y, il existe des techniques informatiques qui permettent de donner une valeur approchée des solutions de cette équation. Ce théorème n’est pas valable dans le cas d’une fonction uniformément continue.
|
et si y est un nombre de l’intervalle 
admet au moins une solution dans I.
Théorème de Rolle
Si une fonction f est continue sur un intervalle Alors il existe un nombre |  |
,
.héorème des accroissements finis
Si f est une fonction continue sur un intervalle 
et dérivable sur 
, ce théorème nous permet d’exprimer 
en fonction de 
grâce à un nombre dérivé 
avec 
.
Théorème
Pour toute fonction f continue sur un intervalle et dérivable sur , il existe tel que :
On a alors 
.
f'(c) est la pente moyenne de f entre a et b.
La formule de Taylor est encore plus puissante. Elle nous permet de donner une approximation aussi précise que l’on veut de f(b) et fonction de f(a) et des dérivées de f, à condition qu’elles existent.
Formule de Taylor
Si f une fonction continue sur un intervalle et n+1 fois dérivable sur .
Alors, il existe un nombre tel que :
(Rappels : 
est le symbole factoriel et 
sont les dérivées successives de f en a.)
Cela nous permet d’exprimer 
en fonction de 
et des dérivées successives de 
. On obtient par exemple, avec 
:
Remarque : si a=0, la formule est appelée formule de Mc Laurin.